מתמטריק
מכפלות סקלריות בפירמידה ישרה – בגרות חורף 2022וקטורים 472 · שיעור 11
חורף 2022, שאלה 1 · סעיף א

שיעור 11: מכפלות סקלריות בפירמידה ישרה – בגרות חורף 2022

פרק 3 – מכפלה סקלרית: אורך, זווית, ניצבות ושטח
1נוסח השאלה
2סעיף א – המכפלות הסקלריות
📄 נוסח השאלה
נתונה פירמידה ישרה SABC שבסיסה משולש ABC (ראו סרטוט). אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה הוא 3.
נתון: ∢ASB = ∢BSC = ∢ASC = 30 מעלות.
נסמן: SA = u , SB = v , SC = w.
הנקודה M נמצאת במישור ABC. ידוע כי SM = 13u + 13v + 13w.
א. חשב את המכפלות הסקלריות: u · v , v · w , u · w.
פירמידה ישרה SABC – שאלה 1
סעיף א – המכפלות הסקלריות
uvw30SABC
הפירמידה לפי קנה מידה אמיתי (מקצוע צדדי 3, זווית ראש 30 מעלות). הווקטורים u, v, w יוצאים מ־S.
שלושת הווקטורים יוצאים מאותה נקודה S, אורך כל אחד 3, והזווית בין כל שניים היא 30 מעלות.
u · v = |u| · |v| · cos(∡ASB)
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית
נציב |u| = |v| = 3 , ∡ASB = 30:
פירמידה ישרה SABC – שאלה 1
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית
a · b = |a| · |b| · cos
של הזווית ביניהם
סעיף א – המכפלות הסקלריות · המשך
נציב |u| = |v| = 3 , ∡ASB = 30:
u · v = 3 · 3 · cos30
u · v = 3 · 3 · √32 = 9√32 ≈ 7.79
v · w = |v| · |w| · cos(∡BSC)
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית
פירמידה ישרה SABC – שאלה 1
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית
a · b = |a| · |b| · cos
של הזווית ביניהם
סעיף א – המכפלות הסקלריות · המשך
v · w = |v| · |w| · cos(∡BSC)
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית
נציב |v| = |w| = 3 , ∡BSC = 30:
v · w = 3 · 3 · cos30
v · w = 3 · 3 · √32 = 9√32 ≈ 7.79
פירמידה ישרה SABC – שאלה 1
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית
a · b = |a| · |b| · cos
של הזווית ביניהם
סעיף א – המכפלות הסקלריות · המשך
v · w = 3 · 3 · √32 = 9√32 ≈ 7.79
u · w = |u| · |w| · cos(∡ASC)
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית
נציב |u| = |w| = 3 , ∡ASC = 30:
u · w = 3 · 3 · cos30
פירמידה ישרה SABC – שאלה 1
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית
a · b = |a| · |b| · cos
של הזווית ביניהם
סעיף א – המכפלות הסקלריות · המשך
u · w = 3 · 3 · cos30
u · w = 3 · 3 · √32 = 9√32 ≈ 7.79
נשתמש גם בריבוע של כל וקטור (מכפלה של וקטור בעצמו):
u · u = |u|2
📐 נוסחה: ריבוע של וקטור
פירמידה ישרה SABC – שאלה 1
📐 נוסחה: ריבוע של וקטור
a · a = |a|2
סעיף א – המכפלות הסקלריות · המשך
u · u = |u|2
📐 נוסחה: ריבוע של וקטור
נציב |u| = |v| = |w| = 3:
u · u = 32 = 9
v · v = 32 = 9
פירמידה ישרה SABC – שאלה 1
📐 נוסחה: ריבוע של וקטור
a · a = |a|2
סעיף א – המכפלות הסקלריות · המשך
v · v = 32 = 9
w · w = 32 = 9
v · v = 9
w · w = 9
פירמידה ישרה SABC – שאלה 1
סעיף א – המכפלות הסקלריות · המשך
w · w = 9
✅ פתרון סופי: u · v = v · w = u · w = 9√32 ≈ 7.79
פירמידה ישרה SABC – שאלה 1

📌 סיכום התשובות

סעיף א
9√32 ≈ 7.79 (לכל שלוש המכפלות)
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא